Unul în plus

Se consideră numerele 1,2,3,...,97,98. Se pot alege 50 dintre aceste 98 de numere astfel încât suma oricăror două dintre numerele alese să nu fie cub perfect?

Cuburi perfecte

Se consideră numerele 1,2,3,...,97,98. Se pot alege 49 dintre aceste 98 de numere astfel încât suma oricăror două dintre numerele alese să nu fie cub perfect?

Adevărat sau fals?

Oare orice număr impar poate fi scris ca diferenţă de două pătrate perfecte?

Pătrat perfect

Stabiliţi dacă numărul 111...11222...225 este pătrat perfect, unde cifra 1 se repetă de 2009 ori, iar cifra 2 de 2010 ori.

Viteze

O anumită distanţă este parcursă de un biciclist în 2 ore şi 6 minute, iar de alt biciclist în 2 ore şi 48 de minute. Considerând că al doilea biciclist ar porni cu 12 minute înaintea primului, să se afle după cât timp primul biciclist îl va ajunge pe al doilea.

Produs de numere consecutive

Demonstraţi că oricare ar fi numărul natural n, numărul a=25n-14 nu poate fi scris ca produs a două numere naturale consecutive.

Împărţiri,împărţiri...

Dacă se măreşte deîmpărţitul unei împărţiri cu 35 şi împărţitorul cu 5, se observă că nu se modifică restul şi câtul. Cât este câtul?

Multipli de 9

Câte numere de 4 cifre, divizibile cu 9, se termină cu cifra 1?

Împărţiri cu roluri schimbate

Să se determine toate numerele naturale care împărţite la 19 dau câtul c şi restul r şi care împărţite la 13 dau câtul r şi restul c.

Perechi

Să se determine perechile de numere naturale (a,b), dacă a este multiplu de b, iar câtul împărţirii lui a la b este cu 5 mai mic decât diferenţa acestor două numere.

Construim, socotim

O lucrare poate fi efectuată în 20 de zile de 15 lucrători. Deoarece după 8 zile de lucru o parte dintre lucrători pleacă pe un alt şantier, lucrarea se termină în 28 de zile. Câţi muncitori au plecat?

Împărţiri

Dacă împărţim numerele 1649, 7043 şi 997 prin acelaşi număr natural obţinem resturile 11, 5, respectiv 7. Aflaţi împărţitorul.

Toamnă

Într-un vas sunt de 5 ori mai multe nuci decât mere. Dacă se mai adaugă în vas 2 mere şi se scot 14 nuci, în vas rămân de 3 ori mai multe nuci decât mere. Câte mere şi câte nuci erau la început în vas?

Numere consecutive

Să se afle patru numere naturale consecutive ştiind că produsul lor este 1680.

Din nou numărare

De câte ori folosim cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de la 1 la 1000? Dar cifra 0?

111...111

Arătaţi că există un multiplu al numărului 2009 a cărui scriere în baza 10 conţine doar cifra 1.

100

Folosind toate cifrele din mulţimea {0,1,2...,9}, absolut toate, şi pe fiecare dintre ele doar o singură dată, împreună cu o parte dintre operaţiile cunoscute :
- adunarea (+)
- scăderea (-)
- înmulţirea (*)
- împărţirea (/)
- ridicarea la putere (^) (De exemplu, folosim 3^2 pentru "3 la puterea a doua".)
- juxtapunerea - aranjarea una lângă alta (De exemplu, numărul 10 se obţine prin juxtapunerea cifrelor 1 şi 0.)
- virgula zecimală (,) (sau punctul zecimal (.))
- asocierea cu paranteze (Aveţi grijă la ordinea efectuării operaţiilor!)
- factorialul (!) (Exemplu: 3! = 1 * 2 * 3, dar am folosit doar cifra 3),
alcătuiţi o expresie aritmetică al cărei rezultat să fie 100.
Exemplu: 43 + 57 + (1 + 2 + 6 + 8 + 9) * 0 = 100
NOTA: Lăsaţi-vă imaginaţia să zburde! Construiţi şi exemple mai complicate decât:
13 +58 +29 + (4+6+7) * 0 =100 sau
13+58+29 + 4*6*7* 0 = 100.

Numărare

Câte numere naturale de 4 cifre, cu toate cifrele pare şi distincte, există?

Numere prime

Determinaţi numerele naturale n prime pentru care numerele n²+4 şi n²+16 sunt simultan numere prime.

Vârsta lui Ciprian

Am mai primit o problemă de la Ciprian pentru voi:
"Dacă adaug de 5 ori vârsta mea de peste 5 ani la de 6 ori vârsta mea peste 6 ani îmi dă de 12 ori vârsta mea actuală. Care va fi vârsta mea peste 4 ani?"
Aţi aflat ce vârstă are Ciprian?

Mulţimi

Sau altfel spus: determinaţi mulţimile X şi Y ştiind că singurele lor elemente comune sunt 1,2 şi 3, singurul element care se găseşte în X şi nu se găseşte în Y este 5 şi că mulţimea Y este inclusă în mulţimea {1,2,3,4,5,6}.

Cubul

Un cub de lemn cu latura de 5 cm se vopseşte cu vopsea neagră. După uscare se taie în cuburi cu latura de 1 cm.
Câte cuburi mici vor avea 1, 2 sau 3 feţe vopsite?
Câte cuburi mici vor avea toate feţele nevopsite?

Turneul

La un turneu de şah fiecare participant a jucat cu fiecare dintre ceilalţi participanţi exact o partidă. Câţi participanţi au fost la turneu, dacă în total s-au jucat 91 de partide?

Monede

La un muzeu se găsesc 80 de monede, aparent identice. Una dintre ele însă, fiind falsă, este puţin mai uşoară. Avem la dispoziţie o balanţă cu braţe egale, fără greutăţi. Este posibil să determinăm care este moneda falsă prin doar patru cântăriri?

Cercul

Numerele naturale de la 1 la 1000 sunt scrise unul după altul pe un cerc. Se taie numerele din 15 în 15, începând cu primul (adică numerele 1,16, 31, etc.); la o nouă parcurgere a cercului sunt luate în considerare şi numerele tăiate înainte. Se continuă operaţia pînă se constată că toate numerele care ar urma să fie tăiate au fost întâlnite şi tăiate mai înainte. Câte numere rămân netăiate?

Numere prime

Să se arata că dacă n este un numă natural mai mare sau egal cu 4, atunci nu există n numere impare consecutive care să fie toate numere prime.

Podul

Un nou prieten al nostru, Ciprian, mi-a trimis următoarea problemă şi un desen foarte frumos pentru ea:
"Avem cinci persoane care trebuie să treacă un pod:
-un copil, care trece podul în 1 minut;
-un tânăr, care trece podul în 3 minute;
-un adult, care trece podul în 6 minute;
-o doamnă, care trece podul în 8 minute;
-un bătrân, care trece podul în 12 minute.
Podul nu este foarte rezistent, astfel că maximum două persoane pot trece podul deodată.
Afară este întuneric, astfel că persoanele vor folosi un felinar la trecerea podului. Tineţi cont că după o trecere felinarul trebuie să şi revină, deci cineva trebuie să îl aducă înapoi.
Felinarul are petrol pentru a funcţiona maximum 30 de minute.

Tinând cont de cele enumerate mai sus şi de faptul că, dacă două persoane trec podul durata de trecere va fi cea mai mare dintre cele două durate de trecere (adica se va trece podul cu viteza celui mai încet dintre cei doi, deci va dura mai mult), spuneţi cum trebuie să se grupeze cei 5 astfel încât să ajungă toţi pe partea cealaltă a podului, fară ca petrolul din felinar să se termine şi să rămână pe întuneric."



Ce părere aveţi, e posibil?

Cel mai mic

Care este cel mai mic număr natural n, cu proprietatea că oricum am alege n numere naturale divizibile cu 4, există printre ele două a căror diferenţă se divide cu 100?

Joc

Doi jucători aleg consecutiv câte un număr din mulţimea {1,2,3,...,15,16} după următoarele reguli:
a) fiecare element poate fi ales cel mult o dată;
b) după fiecare alegere suma tuturor numerelor alese trebuie să fie pătrat perfect (deci şi primul număr).
(De exemplu dacă primul jucăr alege mai întâi 4, atunci al doilea jucător poate alege numai 5 sau 12, etc.)
Cel care nu poate alege un număr conform acestor reguli pierde jocul.
Demonstraţi că primul jucător poate câştiga, indiferent ce strategie ar adopta cel de-al doilea jucător.

Logică

Pe o stradă locuiesc un matematician, un fizician şi un botanist. Casa botanistului este albă. Matematicianul este blond. Fizicianul locuieşte în casa din mijloc. Casa albă se află lângă cea albastră. Cel brunet locuieşte în prima casă din dreapta. Cine locuieşte în casa verde?

Teoria numerelor

Există vreun pătrat perfect având suma cifrelor egală cu 17?

10 numere consecutive

Scrieţi 10 numere naturale consecutive, primul dintre ele divizibil cu 2001, al doilea divizibil cu 2002, al treilea divizibil cu 2003, ... , ultimul divizibil cu 2010.

Câteva indicii

...pentru problema de mai jos:
14=7+7; 15=5+5+5; 16=11+5; 17=5+5+7; 18=11+7.
Atunci
5k+4=14+5k-10=7+7+5(k-2)=7+7+5+5+...+5,
5k=5+5+...+5,
5k+1=16+5k-15=16+5(k-3)=11+5+5+5+...+5
5k+2=17+5k-15=...
Încercaţi să finalizaţi voi rezolvarea.
Cum vi se pare?

Jetoane

Avem la dispoziţie un număr nelimitat de jetoane pe care sunt scrise numerele naturale 5, 7 sau 11. Spunem că "am obţinut" numărul natural n dacă putem găsi jetoane cu suma numerelor de pe ele egală cu n. Arătaţi că 13 este cel mai mare număr natural care nu poate fi obţinut.

Ecuaţii

Oare toate ecuaţiile de mai jos au soluţii naturale?
Cine doreşte un 10 la mate` îşi poate lăsa răspunsul în "comentariu".

Ecuatii

Ne jucăm şi învăţăm

Încă o porţie de joc+mate: darts şi compararea fracţiilor.
Totul e să îndrăzneşti.
Distracţie maxima!

O metodă interesantă

...foloseau egiptenii pentru a efectua înmulţirea a două numere naturale.
Citiţi aici despre Înmulţirea la egipteni
Observaţi legătura cu scrierea în baza 2 a unui număr.

Ne pregătim de şcoală

Vacanţa se apropie de final
şi aşteptăm cu nerăbdare reînceperea şcolii...
Cu toţii vrem să fim în formă în 15 septembrie.
Să exersăm aici cele 4 operaţii .
Voie bună!

Fractalii

Stiţi ce este un fractal?
Iată un exemplu: fractalul lui Koch
O să vă placă.

Ultima cifră a unui pătrat perfect

Vă mai amintiţi cât poate fi ultima cifră a unui pătrat perfect?
Dacă da, s-ar putea să rezolvaţi cu succes problema de mai jos.
O problemă de nota 10!

probl1