Pătrat perfect

Stabiliţi dacă numărul 111...11222...225 este pătrat perfect, unde cifra 1 se repetă de 2009 ori, iar cifra 2 de 2010 ori.

Viteze

O anumită distanţă este parcursă de un biciclist în 2 ore şi 6 minute, iar de alt biciclist în 2 ore şi 48 de minute. Considerând că al doilea biciclist ar porni cu 12 minute înaintea primului, să se afle după cât timp primul biciclist îl va ajunge pe al doilea.

Produs de numere consecutive

Demonstraţi că oricare ar fi numărul natural n, numărul a=25n-14 nu poate fi scris ca produs a două numere naturale consecutive.

Împărţiri,împărţiri...

Dacă se măreşte deîmpărţitul unei împărţiri cu 35 şi împărţitorul cu 5, se observă că nu se modifică restul şi câtul. Cât este câtul?

Multipli de 9

Câte numere de 4 cifre, divizibile cu 9, se termină cu cifra 1?

Împărţiri cu roluri schimbate

Să se determine toate numerele naturale care împărţite la 19 dau câtul c şi restul r şi care împărţite la 13 dau câtul r şi restul c.

Perechi

Să se determine perechile de numere naturale (a,b), dacă a este multiplu de b, iar câtul împărţirii lui a la b este cu 5 mai mic decât diferenţa acestor două numere.

Construim, socotim

O lucrare poate fi efectuată în 20 de zile de 15 lucrători. Deoarece după 8 zile de lucru o parte dintre lucrători pleacă pe un alt şantier, lucrarea se termină în 28 de zile. Câţi muncitori au plecat?

Împărţiri

Dacă împărţim numerele 1649, 7043 şi 997 prin acelaşi număr natural obţinem resturile 11, 5, respectiv 7. Aflaţi împărţitorul.

Toamnă

Într-un vas sunt de 5 ori mai multe nuci decât mere. Dacă se mai adaugă în vas 2 mere şi se scot 14 nuci, în vas rămân de 3 ori mai multe nuci decât mere. Câte mere şi câte nuci erau la început în vas?

Numere consecutive

Să se afle patru numere naturale consecutive ştiind că produsul lor este 1680.

Din nou numărare

De câte ori folosim cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de la 1 la 1000? Dar cifra 0?

111...111

Arătaţi că există un multiplu al numărului 2009 a cărui scriere în baza 10 conţine doar cifra 1.

100

Folosind toate cifrele din mulţimea {0,1,2...,9}, absolut toate, şi pe fiecare dintre ele doar o singură dată, împreună cu o parte dintre operaţiile cunoscute :
- adunarea (+)
- scăderea (-)
- înmulţirea (*)
- împărţirea (/)
- ridicarea la putere (^) (De exemplu, folosim 3^2 pentru "3 la puterea a doua".)
- juxtapunerea - aranjarea una lângă alta (De exemplu, numărul 10 se obţine prin juxtapunerea cifrelor 1 şi 0.)
- virgula zecimală (,) (sau punctul zecimal (.))
- asocierea cu paranteze (Aveţi grijă la ordinea efectuării operaţiilor!)
- factorialul (!) (Exemplu: 3! = 1 * 2 * 3, dar am folosit doar cifra 3),
alcătuiţi o expresie aritmetică al cărei rezultat să fie 100.
Exemplu: 43 + 57 + (1 + 2 + 6 + 8 + 9) * 0 = 100
NOTA: Lăsaţi-vă imaginaţia să zburde! Construiţi şi exemple mai complicate decât:
13 +58 +29 + (4+6+7) * 0 =100 sau
13+58+29 + 4*6*7* 0 = 100.

Numărare

Câte numere naturale de 4 cifre, cu toate cifrele pare şi distincte, există?