Presupunem ca numarul dat e patrat perfect; in acest caz, radacina patrata trebuie sa fie de forma #####15 (neaparat se termina cu 15, pentru ca patratul ei sa se termine cu 225); s-o ridicam la patrat, pentru a reconstitui numarul nostru:
#####15x #####15 --------- #####75+ ####15 --------- acum, prin adunare, trebuie sa obtinem un numar care sa se termine in 225; pentru asta, rangul 3 din dreapta al deinmultitului trebuie sa fie 1, lucru imposibil (el nu poate fi decat 0 sau 5).
Nu este adevarata afirmatia ca daca un patrat perfect k^2 se termina cu 225, atunci k se termina cu 15. Prin urmare si concluziile trase de aici sunt probabil false.
Fie n numarul cifrelor de 3 intr-un numar natural de forma 333...3335, atunci patratul acestui numar va fi 111...111222...225, unde numarul cifrelor de 1 este (n-1) iar numarul cifrelor de 2 este n. Prin urmare radacina patrata a numarului din problema va fi 333...335, unde 3 va aparea de 2010 ori. Nu stiu daca demonstratia este prea plauzibila, dar macar am ajuns la rezultatul corect.
o mica eroare s-a produs in calculul anterior....la un numar de forma 111..111222...225 unde (n-1) =numarul de cifre de 1 si n= numarul de cifre de 2 => radacina patrata este de forma 333...335, unde 3 apare de (n-1) ori.
Drăguţică problema, iată şi o rezolvare. Numărul dat este 5 + (2*10 + 2*10^2 + ... + 2*10^2010) + (10^2011 + ... + 10^4019), adică 5 + 20*(10^2009 - 1)/9 + 10^2011*(10^2009 - 1)/9. Dacă numărul dat este pătrat perfect, atunci şi înmulţit cu 9=3^2 tot pătrat perfect va fi, deci putem elimina numitorii din expresia anterioară şi, după cosmetizări, ne rămâne să studiem dacă numărătorul acesteia este pătrat perfect, adică 10^4020 - 8*10^2010 + 25. În acesta din urmă încercăm să evidenţiem un pătrat perfect, expresia devenind: (10^2010 - 4)^2 + 9. Acesta este numărătorul de care vorbeam adineauri. El este cuprins strict între pătratele (10^2010 - 4)^2 şi (10^2010 - 3)^2, pătrate de numere naturale consecutive. Fiind consecutive, nu poate exista vreun alt număr natural între ele care să fie radicalul numărătorului menţionat, deci acesta nu este pătrat perfect şi deci nici numărul dat iniţial.
Dumneavoastră ştiţi altă rezolvare?
Finalmente, un comentariu: strategia la care mă gândisem iniţial era să reduc numărul dat modulo un "n" bine ales, şi să arăt că restul nu era un pătrat modulo "n". Surprinzător, dar numărul dat redus modulo 2,3,4,5,8,9,10,11 dă de fiecare dată pătrate!
Totusi numarul este patrat perfect. Undeva s-a strecurat o eroare.
Iata o solutie: Notam x=11...11, unde cifra x se repeta de 2010 ori. Atunci numarul din enuntul problemei este (x+1)*10^2010+2x+3=(x+1)*(9x+1)+2x+3=9x^2+12x+4=9x^2+6x+6x+4=3x(3x+2)+2(3x+2)=(3x+2)^2.
S-ar parea ca raspunsul e nu, si iata de ce:
RăspundețiȘtergerePresupunem ca numarul dat e patrat perfect; in acest caz, radacina patrata trebuie sa fie de forma #####15 (neaparat se termina cu 15, pentru ca patratul ei sa se termine cu 225); s-o ridicam la patrat, pentru a reconstitui numarul nostru:
#####15x
#####15
---------
#####75+
####15
---------
acum, prin adunare, trebuie sa obtinem un numar care sa se termine in 225; pentru asta, rangul 3 din dreapta al deinmultitului trebuie sa fie 1, lucru imposibil (el nu poate fi decat 0 sau 5).
Doamna profesoara, ce nota am luat? :)
Nu este adevarata afirmatia ca daca un patrat perfect k^2 se termina cu 225, atunci k se termina cu 15. Prin urmare si concluziile trase de aici sunt probabil false.
RăspundețiȘtergereFie produsul:
RăspundețiȘtergere######3...33335x
######3...33335
________________
#####16...66675+
####100...0005
###1000...005
............
...0005
_________________
1..11222...2225
Fie n numarul cifrelor de 3 intr-un numar natural de forma 333...3335, atunci patratul acestui numar va fi 111...111222...225, unde numarul cifrelor de 1 este (n-1) iar numarul cifrelor de 2 este n.
Prin urmare radacina patrata a numarului din problema va fi 333...335, unde 3 va aparea de 2010 ori.
Nu stiu daca demonstratia este prea plauzibila, dar macar am ajuns la rezultatul corect.
o mica eroare s-a produs in calculul anterior....la un numar de forma 111..111222...225 unde (n-1) =numarul de cifre de 1 si n= numarul de cifre de 2 => radacina patrata este de forma 333...335, unde 3 apare de (n-1) ori.
RăspundețiȘtergereAm facut o mica eroare de calcul.In loc de "Fie n numarul cifrelor de 3 intr-un numar..." corect este "Fie (n-1) numarul cifrelor de 3.."
RăspundețiȘtergereHe he. Frumos.
RăspundețiȘtergereE patrat perfect.
=[(10^(n+1)+5)/3]^2
unde la cerere n=2009
Drăguţică problema, iată şi o rezolvare. Numărul dat este 5 + (2*10 + 2*10^2 + ... + 2*10^2010) + (10^2011 + ... + 10^4019), adică 5 + 20*(10^2009 - 1)/9 + 10^2011*(10^2009 - 1)/9. Dacă numărul dat este pătrat perfect, atunci şi înmulţit cu 9=3^2 tot pătrat perfect va fi, deci putem elimina numitorii din expresia anterioară şi, după cosmetizări, ne rămâne să studiem dacă numărătorul acesteia este pătrat perfect, adică 10^4020 - 8*10^2010 + 25. În acesta din urmă încercăm să evidenţiem un pătrat perfect, expresia devenind: (10^2010 - 4)^2 + 9. Acesta este numărătorul de care vorbeam adineauri. El este cuprins strict între pătratele (10^2010 - 4)^2 şi (10^2010 - 3)^2, pătrate de numere naturale consecutive. Fiind consecutive, nu poate exista vreun alt număr natural între ele care să fie radicalul numărătorului menţionat, deci acesta nu este pătrat perfect şi deci nici numărul dat iniţial.
RăspundețiȘtergereDumneavoastră ştiţi altă rezolvare?
Finalmente, un comentariu: strategia la care mă gândisem iniţial era să reduc numărul dat modulo un "n" bine ales, şi să arăt că restul nu era un pătrat modulo "n". Surprinzător, dar numărul dat redus modulo 2,3,4,5,8,9,10,11 dă de fiecare dată pătrate!
Totusi numarul este patrat perfect. Undeva s-a strecurat o eroare.
RăspundețiȘtergereIata o solutie:
Notam x=11...11, unde cifra x se repeta de 2010 ori.
Atunci numarul din enuntul problemei este
(x+1)*10^2010+2x+3=(x+1)*(9x+1)+2x+3=9x^2+12x+4=9x^2+6x+6x+4=3x(3x+2)+2(3x+2)=(3x+2)^2.