Fracţii ireductibile

Determinaţi numerele naturale n pentru care fracţia (4n+3)/(5n+2) este ireductibilă.

Ultima cifră

Se dă numărul a=1+11+111+...+11...11, reprezentând suma a 2010 numere scrise în baza 2. Aflaţi ultima cifră a numărului a scris în baza 10.

Divizibilitate

Care dintre numerele următoare se divide cu 71:
76²³+66²³,
76³³+66²³?
Justificaţi.

Divizibilitate

Arătaţi că dacă numerele naturale x, y ş z verifică egalitatea 2x-3y+4z=0, atunci numărul n=y(x-z) se divide cu 6.

LOTO

Într-o urnă sunt 49 de bile numerotate de la 1 la 49. Care este numărul minim de bile care trebuie extrase din urnă pentru a fi siguri că am scos două bile având diferenţa numerelor înscrise pe ele mai mică decât 7.

Ecuaţie

Stabiliţi dacă ecuaţia x²-4y²=343 are sau nu soluţii în mulţimea numerelor naturale.

Numărăm până învăţăm

De câte ori folosim cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de la 1 la 100000? Dar cifra 0?

Numere prime

Determinaţi numerele naturale n prime pentru care numerele n²+4 şi n²+16 sunt simultan numere prime.

Numărare

De câte ori folosim cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de la 1 la 10000? Dar cifra 0?

Unul în plus

Se consideră numerele 1,2,3,...,97,98. Se pot alege 50 dintre aceste 98 de numere astfel încât suma oricăror două dintre numerele alese să nu fie cub perfect?

Cuburi perfecte

Se consideră numerele 1,2,3,...,97,98. Se pot alege 49 dintre aceste 98 de numere astfel încât suma oricăror două dintre numerele alese să nu fie cub perfect?

Adevărat sau fals?

Oare orice număr impar poate fi scris ca diferenţă de două pătrate perfecte?

Pătrat perfect

Stabiliţi dacă numărul 111...11222...225 este pătrat perfect, unde cifra 1 se repetă de 2009 ori, iar cifra 2 de 2010 ori.

Viteze

O anumită distanţă este parcursă de un biciclist în 2 ore şi 6 minute, iar de alt biciclist în 2 ore şi 48 de minute. Considerând că al doilea biciclist ar porni cu 12 minute înaintea primului, să se afle după cât timp primul biciclist îl va ajunge pe al doilea.

Produs de numere consecutive

Demonstraţi că oricare ar fi numărul natural n, numărul a=25n-14 nu poate fi scris ca produs a două numere naturale consecutive.