sâmbătă, 5 decembrie 2009

Adevărat sau fals?

Oare orice număr impar poate fi scris ca diferenţă de două pătrate perfecte?

10 comentarii:

  1. Fals. Numarul 1 nu poate fi scris ca diferenta decat ca (k+1) - k si nu exista 2 patrate perfecte consecutive.

    RăspundețiȘtergere
  2. notam cu i numarul impar.
    Notam cu a^2 si b^2 cele doua patrate perfecte.
    i=a^2-b^2 => i=(a-b)(a+b)
    Orice numar impar poate fi scris ca produs intre 1 si el insusi i=1*i
    => a-b=1 si a+b=i
    a-b=1=>a=b+1(numere consecutive)
    daca a si b sunt numere consecutive suma lor este impara deci se verifica i=a+b.
    Rezulta ca orice numar impar poate fi scris ca diferenta de patrate perfecte

    RăspundețiȘtergere
  3. Imi cer scuze pentru ignoranta, dar 0 nu este un numar par sau impar.

    RăspundețiȘtergere
  4. Nici o problema.
    Numerele naturale pare sunt de forma 2k, unde k poate fi 0,1,2,3,....
    Deci numerele naturale pare sunt 0,2,4,6,...
    Numerele naturale impare sunt de forma 2k+1, unde k poate fi de asemenea 0,1,2,3,...(orice numar natural)
    Deci numerele impare sunt 1,3,5,7,...

    RăspundețiȘtergere
  5. Iata o solutie rapida a problemei:
    Fie n=2k+1 un numar natural impar (k numar natural).
    Atunci n=k^2+2k+1-k^2=(k+1)^2-k^2
    Deci orice numar natural impar poate fi scris ca diferenta a doua patrate perfecte. In plus, observam ca cele doua patrate perfecte sunt patratele unor numere naturale consecutive.

    RăspundețiȘtergere
  6. Am aflat de pe net o proprietate interesanta a patratelor perfecte si cred ca trebuie sa o fac cunoscuta, daca deja nu este cunoscuta,eu insa nu o stiam.
    Orice patrat perfect este de forma 3k+1 sau 9k.
    Si inca una Orice patrat perfect este de forma 4k sau 4k+1.
    Pot oferi si demonstratia ptr cine este interesat.

    RăspundețiȘtergere
  7. Putem lua numerele impare de forma 2k+2k+1. Asa obtinem numerele 1 5 9 13....Dar numerele 3,7,11... le obtinem prin 2k+(2k-1).
    Observam ca: 1. (2k+1)^2-(2k)^2= 4k^2+4k+1-4k^2=4k+1 => numerele de forma 4k+1 (adica 1,5,9..) pot fi scrise ca dif. de 2 patrate perfecte.
    2. (2k)^2-(2k-1)^2= 4k^2-(4k^2-4k+1)=4k^2-4k^2+4k-1=4k-1 => numerele de forma 4k-1 (adica 3,7,11..) pot fi scrise ca dif. de 2 patrate perfecte.
    Deci orice numar impar poate fi scris ca dif de 2 patrate perfecte.
    (ADEVARAT)

    RăspundețiȘtergere
  8. am observat ca 1=1^2-0^2
    3=2^2-1^2
    5=3^2-2^2
    7=4^2-3^2
    .........

    aceasta regula se continua????

    RăspundețiȘtergere
  9. De fapt relatiile observate de tine sunt cazuri particulare ale egalitatii
    2k+1=(k+1)^2-k^2
    Inlocuind pe rand k cu 0,1,2,3 obtinem relatiile pe care le-ai gasit.
    De asemeni se poate arata usor ca egalitatea
    2k+1=(k+1)^2-k^2
    este adevarata pentru orice numar k.
    Astfel problema va fi rezolvata.

    RăspundețiȘtergere

21 martie 2014 - Experimentul Eratostene

21 martie 2014 - Experimentul Eratostene