notam cu i numarul impar. Notam cu a^2 si b^2 cele doua patrate perfecte. i=a^2-b^2 => i=(a-b)(a+b) Orice numar impar poate fi scris ca produs intre 1 si el insusi i=1*i => a-b=1 si a+b=i a-b=1=>a=b+1(numere consecutive) daca a si b sunt numere consecutive suma lor este impara deci se verifica i=a+b. Rezulta ca orice numar impar poate fi scris ca diferenta de patrate perfecte
Nici o problema. Numerele naturale pare sunt de forma 2k, unde k poate fi 0,1,2,3,.... Deci numerele naturale pare sunt 0,2,4,6,... Numerele naturale impare sunt de forma 2k+1, unde k poate fi de asemenea 0,1,2,3,...(orice numar natural) Deci numerele impare sunt 1,3,5,7,...
Iata o solutie rapida a problemei: Fie n=2k+1 un numar natural impar (k numar natural). Atunci n=k^2+2k+1-k^2=(k+1)^2-k^2 Deci orice numar natural impar poate fi scris ca diferenta a doua patrate perfecte. In plus, observam ca cele doua patrate perfecte sunt patratele unor numere naturale consecutive.
Am aflat de pe net o proprietate interesanta a patratelor perfecte si cred ca trebuie sa o fac cunoscuta, daca deja nu este cunoscuta,eu insa nu o stiam. Orice patrat perfect este de forma 3k+1 sau 9k. Si inca una Orice patrat perfect este de forma 4k sau 4k+1. Pot oferi si demonstratia ptr cine este interesat.
Putem lua numerele impare de forma 2k+2k+1. Asa obtinem numerele 1 5 9 13....Dar numerele 3,7,11... le obtinem prin 2k+(2k-1). Observam ca: 1. (2k+1)^2-(2k)^2= 4k^2+4k+1-4k^2=4k+1 => numerele de forma 4k+1 (adica 1,5,9..) pot fi scrise ca dif. de 2 patrate perfecte. 2. (2k)^2-(2k-1)^2= 4k^2-(4k^2-4k+1)=4k^2-4k^2+4k-1=4k-1 => numerele de forma 4k-1 (adica 3,7,11..) pot fi scrise ca dif. de 2 patrate perfecte. Deci orice numar impar poate fi scris ca dif de 2 patrate perfecte. (ADEVARAT)
De fapt relatiile observate de tine sunt cazuri particulare ale egalitatii 2k+1=(k+1)^2-k^2 Inlocuind pe rand k cu 0,1,2,3 obtinem relatiile pe care le-ai gasit. De asemeni se poate arata usor ca egalitatea 2k+1=(k+1)^2-k^2 este adevarata pentru orice numar k. Astfel problema va fi rezolvata.
Fals. Numarul 1 nu poate fi scris ca diferenta decat ca (k+1) - k si nu exista 2 patrate perfecte consecutive.
RăspundețiȘtergere1=1^2-0^2
RăspundețiȘtergerenotam cu i numarul impar.
RăspundețiȘtergereNotam cu a^2 si b^2 cele doua patrate perfecte.
i=a^2-b^2 => i=(a-b)(a+b)
Orice numar impar poate fi scris ca produs intre 1 si el insusi i=1*i
=> a-b=1 si a+b=i
a-b=1=>a=b+1(numere consecutive)
daca a si b sunt numere consecutive suma lor este impara deci se verifica i=a+b.
Rezulta ca orice numar impar poate fi scris ca diferenta de patrate perfecte
Imi cer scuze pentru ignoranta, dar 0 nu este un numar par sau impar.
RăspundețiȘtergereNici o problema.
RăspundețiȘtergereNumerele naturale pare sunt de forma 2k, unde k poate fi 0,1,2,3,....
Deci numerele naturale pare sunt 0,2,4,6,...
Numerele naturale impare sunt de forma 2k+1, unde k poate fi de asemenea 0,1,2,3,...(orice numar natural)
Deci numerele impare sunt 1,3,5,7,...
Iata o solutie rapida a problemei:
RăspundețiȘtergereFie n=2k+1 un numar natural impar (k numar natural).
Atunci n=k^2+2k+1-k^2=(k+1)^2-k^2
Deci orice numar natural impar poate fi scris ca diferenta a doua patrate perfecte. In plus, observam ca cele doua patrate perfecte sunt patratele unor numere naturale consecutive.
Am aflat de pe net o proprietate interesanta a patratelor perfecte si cred ca trebuie sa o fac cunoscuta, daca deja nu este cunoscuta,eu insa nu o stiam.
RăspundețiȘtergereOrice patrat perfect este de forma 3k+1 sau 9k.
Si inca una Orice patrat perfect este de forma 4k sau 4k+1.
Pot oferi si demonstratia ptr cine este interesat.
Putem lua numerele impare de forma 2k+2k+1. Asa obtinem numerele 1 5 9 13....Dar numerele 3,7,11... le obtinem prin 2k+(2k-1).
RăspundețiȘtergereObservam ca: 1. (2k+1)^2-(2k)^2= 4k^2+4k+1-4k^2=4k+1 => numerele de forma 4k+1 (adica 1,5,9..) pot fi scrise ca dif. de 2 patrate perfecte.
2. (2k)^2-(2k-1)^2= 4k^2-(4k^2-4k+1)=4k^2-4k^2+4k-1=4k-1 => numerele de forma 4k-1 (adica 3,7,11..) pot fi scrise ca dif. de 2 patrate perfecte.
Deci orice numar impar poate fi scris ca dif de 2 patrate perfecte.
(ADEVARAT)
am observat ca 1=1^2-0^2
RăspundețiȘtergere3=2^2-1^2
5=3^2-2^2
7=4^2-3^2
.........
aceasta regula se continua????
De fapt relatiile observate de tine sunt cazuri particulare ale egalitatii
RăspundețiȘtergere2k+1=(k+1)^2-k^2
Inlocuind pe rand k cu 0,1,2,3 obtinem relatiile pe care le-ai gasit.
De asemeni se poate arata usor ca egalitatea
2k+1=(k+1)^2-k^2
este adevarata pentru orice numar k.
Astfel problema va fi rezolvata.