1 in baza 2 = 1 11 in baza 2 = 1+2 111 in baza 2 = 1+2+2^2 .... 111...111(2010 cf.) in baza 2 = 1+2+...+2^2009 Observam ca in A 1 se repeta in fiecare nr.Deci de 2010 ori. 2, in fiecare fara uunul,deci de 2009 ori s.a.m.d. Deci A=1+1+1+1+....+1(de 2010 ori)+2+2+..+2(de 2009 ori)+....................................+2^2009(o data...:)) ) Adica A = 2010 + 2*2009 + (2^2)*2008 + ...+2^2009 Observam ca ultima cifra a termenilor sumei A se repeta astfel: 0,8,2,6,4,0,8,2,6,4.... Deci daca am face grupe de cate 5 nr.,(si putem caci avem 2010 nr care e divizibil cu 5) atunci ultima cf. in fiecare grupa e 0. Deci ultima cf. a lu A= {[( 0 )]} (unde cf.=cifra...)
1 in baza 2 = 1 = 2^1-1 11 in baza 2 = 3 = 2^2-1 111 in baza 2 = 7 = 2^3-1 .... 11...1 in baza 2 = ... = 2^2010-1 Atunci S = 1+11+111+ ...+11...1 = 2^1-1 + 2^2-1 + 2^3-1 + ... + 2^2010-1 = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2010- 1*2010 = 2^2010/(2-1) - 1 - 2010 = 2^2010 - 2011. S = 2^2010 - 2011 Acum 2^1 = 2 - se termina in 2 2^2 = 4 - se termina in 4 2^3 = 8 - se termina in 8 2^4 = 16 - se termina in 6 ---------- 2^5 = 32 - se termina in 2 2^6 = 64 - se termina in 4 2^7 = 128 - se termina in 8 2^8 = 256 - se termina in 6 ---------- 512, 1024, 2048, 4096 se pare ca 2^n se termina in cifrele 2, 4, 8 sau 6 2^n se termina in 2 daca n = 4*k +1 2^n se termina in 4 daca n = 4*k +2 2^n se termina in 8 daca n = 4*k +3 2^n se termina in 6 daca n = 4*k+ 4 = 4*(k+1)
Revenind la numarul nostru 2^2010 = 2^(4*502)+2 se termina in 4 Atunci S = 2^2010 - 2011 se termina in 3
Greseala in ce spunea Alex consta in faptul ca presupunerea "A = 2010 + 2*2009 + (2^2)*2008 + ...+2^2009 Observam ca ultima cifra a termenilor sumei A se repeta astfel: 0,8,2,6,4,0,8,2,6,4...." este falsa. 2010 - se termina 0 2^1*2009 - se termina 8 2^2*2008 = 4*2008 - se termina 2 2^3*2007 = 8*2007 - se termina 6 2^4*2006 = 16*2006 - se termina 6 (!!!) 2^5*2005 = 32*2005 - se termina 0 (!!!)
hmm... 1+3+7+15 +31+63+127+255 +511+1023+2047+4095 deci 1, 3, 7 si 5 se repeta, grupe de cate 4. 1+3+7+5=16 deci retinem 6. 2010 numere inseama 2008/4 = 502 grupe de cate 4, si inca 2 numere. deci 6*502 se termina in 2, si mai incepem un grup, deci inca 1 si 3 deci 2+1+3=6 deci raspunsul este 6
1+11+111+......+11....111=(2^1-1)+(2^2-1)+.....+(2^2010-1)=2^1+2^2+....+2^2010-2010=(2^2011-2^1)/(2-1)-2010=2^2011-2012 Se observa ca 2^3, 2^7,...2^(4n-1) se termina in cifra 8; Cum 2^2011 este de forma 2^(4*503-1), atunci si acesta se termina in cifra 8 de unde rezulta ca 2^2011-2012 se termina in cifra 6!(florin)
0
RăspundețiȘtergere6?
RăspundețiȘtergere1 in baza 2 = 1
RăspundețiȘtergere11 in baza 2 = 1+2
111 in baza 2 = 1+2+2^2
....
111...111(2010 cf.) in baza 2 = 1+2+...+2^2009
Observam ca in A 1 se repeta in fiecare nr.Deci de 2010 ori. 2, in fiecare fara uunul,deci de 2009 ori s.a.m.d.
Deci A=1+1+1+1+....+1(de 2010 ori)+2+2+..+2(de 2009 ori)+....................................+2^2009(o data...:)) )
Adica A = 2010 + 2*2009 + (2^2)*2008 + ...+2^2009
Observam ca ultima cifra a termenilor sumei A se repeta astfel:
0,8,2,6,4,0,8,2,6,4....
Deci daca am face grupe de cate 5 nr.,(si putem caci avem 2010 nr care e divizibil cu 5) atunci ultima cf. in fiecare grupa e 0.
Deci ultima cf. a lu A= {[( 0 )]} (unde cf.=cifra...)
Sa fie totusi 6?
RăspundețiȘtergere1 in baza 2 = 1 = 2^1-1
RăspundețiȘtergere11 in baza 2 = 3 = 2^2-1
111 in baza 2 = 7 = 2^3-1
....
11...1 in baza 2 = ... = 2^2010-1
Atunci S = 1+11+111+ ...+11...1 = 2^1-1 + 2^2-1 + 2^3-1 + ... + 2^2010-1 = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2010- 1*2010 = 2^2010/(2-1) - 1 - 2010 = 2^2010 - 2011.
S = 2^2010 - 2011
Acum
2^1 = 2 - se termina in 2
2^2 = 4 - se termina in 4
2^3 = 8 - se termina in 8
2^4 = 16 - se termina in 6
----------
2^5 = 32 - se termina in 2
2^6 = 64 - se termina in 4
2^7 = 128 - se termina in 8
2^8 = 256 - se termina in 6
----------
512, 1024, 2048, 4096
se pare ca 2^n se termina in cifrele 2, 4, 8 sau 6
2^n se termina in 2 daca n = 4*k +1
2^n se termina in 4 daca n = 4*k +2
2^n se termina in 8 daca n = 4*k +3
2^n se termina in 6 daca n = 4*k+ 4 = 4*(k+1)
Revenind la numarul nostru 2^2010 = 2^(4*502)+2 se termina in 4
Atunci S = 2^2010 - 2011 se termina in 3
Unde este greseala?
RăspundețiȘtergereGreseala in ce spunea Alex consta in faptul ca presupunerea
RăspundețiȘtergere"A = 2010 + 2*2009 + (2^2)*2008 + ...+2^2009
Observam ca ultima cifra a termenilor sumei A se repeta astfel:
0,8,2,6,4,0,8,2,6,4...."
este falsa.
2010 - se termina 0
2^1*2009 - se termina 8
2^2*2008 = 4*2008 - se termina 2
2^3*2007 = 8*2007 - se termina 6
2^4*2006 = 16*2006 - se termina 6 (!!!)
2^5*2005 = 32*2005 - se termina 0 (!!!)
hmm...
RăspundețiȘtergere1+3+7+15 +31+63+127+255 +511+1023+2047+4095
deci 1, 3, 7 si 5 se repeta, grupe de cate 4.
1+3+7+5=16 deci retinem 6.
2010 numere inseama 2008/4 = 502 grupe de cate 4, si inca 2 numere. deci 6*502 se termina in 2, si mai incepem un grup, deci inca 1 si 3 deci 2+1+3=6 deci raspunsul este 6
1+11+111+......+11....111=(2^1-1)+(2^2-1)+.....+(2^2010-1)=2^1+2^2+....+2^2010-2010=(2^2011-2^1)/(2-1)-2010=2^2011-2012
RăspundețiȘtergereSe observa ca 2^3, 2^7,...2^(4n-1) se termina in cifra 8; Cum 2^2011 este de forma 2^(4*503-1), atunci si acesta se termina in cifra 8 de unde rezulta ca 2^2011-2012 se termina in cifra 6!(florin)