Prima varianta. Avem 71+5 la 23 si 71-5 la 23. Toti termenii din descompunere contin cel putin 71 la puterea 1 mai putin ultimul termen care este +5 la 23 si -5 la 23. Varianta a doua aduce termeni ultimi inegali, 5 la 33 respectiv 23.
Tinand cont de faptul ca: a. pentru n impar, (a+b)^n (unde ^ este ridicare la putere) este un numar de forma k*a+b^n cu k intrag iar (a-b)^n este de forma k*a-b^n cu k intreg, fapt care rezulta din dezvolatrea binomului; b. 76=71+5 si 66=71-5 rezulta imediat ca pentru p si q impare 76^p+66^q este un numar de forma 71*k+5^p-5^q. deci 76^p+66^q se divide cu 71 daca si numai daca 5^p-5^q se divide cu 71. 1. pentru p=q=23 este clar adevarat, deci primul numar se divide cu 71. Mai mult, putem generaliza si afirma ca oricare ar fi p intreg si impar 76^p+66^p se divide cu 71 2. pentru p=33 si q=23 trebuie sa determinam daca 5^33-5^23 se divide cu 71. 5 fiind prim cu 71, ramane de veificat daca 5^10-1 se divide cu 71 sau daca unul dintre 5^5-1 sau 5^5+1 se divide cu 71. 5^5=3125 iar 3124 se divide cu 71. Deci si al doilea numar se divide la 71 si putem si aici generaliza si afirma ca oricare ar fi p impar, 76^(p+10)+66^p se divide cu 71.
76^23+66^23=(71+5)^23+(71-5)^23 Dupa ce vom face dezvoltarea coform binomului Newton observam ca (71+5)^23+(71-5)^23=M71+5^23+M71-5^23=M71 unde M71 este multiplu de 71 Deci 76^23+66^23 divizibil cu 71
Analog se face si cel de-al doilea exercitiu Sa ii lasam pe ceilalti sa il rezolve
Prima varianta. Avem 71+5 la 23 si 71-5 la 23. Toti termenii din descompunere contin cel putin 71 la puterea 1 mai putin ultimul termen care este +5 la 23 si -5 la 23.
RăspundețiȘtergereVarianta a doua aduce termeni ultimi inegali, 5 la 33 respectiv 23.
Tinand cont de faptul ca:
RăspundețiȘtergerea. pentru n impar, (a+b)^n (unde ^ este ridicare la putere) este un numar de forma k*a+b^n cu k intrag iar (a-b)^n este de forma k*a-b^n cu k intreg, fapt care rezulta din dezvolatrea binomului;
b. 76=71+5 si 66=71-5
rezulta imediat ca pentru p si q impare 76^p+66^q este un numar de forma 71*k+5^p-5^q.
deci 76^p+66^q se divide cu 71 daca si numai daca 5^p-5^q se divide cu 71.
1. pentru p=q=23 este clar adevarat, deci primul numar se divide cu 71. Mai mult, putem generaliza si afirma ca oricare ar fi p intreg si impar 76^p+66^p se divide cu 71
2. pentru p=33 si q=23 trebuie sa determinam daca 5^33-5^23 se divide cu 71. 5 fiind prim cu 71, ramane de veificat daca 5^10-1 se divide cu 71 sau daca unul dintre 5^5-1 sau 5^5+1 se divide cu 71. 5^5=3125 iar 3124 se divide cu 71. Deci si al doilea numar se divide la 71 si putem si aici generaliza si afirma ca oricare ar fi p impar, 76^(p+10)+66^p se divide cu 71.
76^23+66^23=(71+5)^23+(71-5)^23
RăspundețiȘtergereDupa ce vom face dezvoltarea coform binomului Newton observam ca (71+5)^23+(71-5)^23=M71+5^23+M71-5^23=M71
unde M71 este multiplu de 71
Deci 76^23+66^23 divizibil cu 71
Analog se face si cel de-al doilea exercitiu
Sa ii lasam pe ceilalti sa il rezolve
a) 76^23 + 66^23 = (71+5)^23 + (71-5)^23 = 71*k + 5^23 + 71*p - 5^23 ) 71(k + p) divizibil cu 71
RăspundețiȘtergereb) 76^33 + 66^23 = (71+5)^33 + (71-5)^23 =
71*s + 5^33 + 71*z - 5^23 = 71(s + z) + 5^23(5^10 - 1) = 71*x + 5^23( (5^5)^2 - 1) =
71*x + 5^23( (3124 + 1)^2 - 1) = 71*x + 5^23( 71*44) = 71*(x + 5^23*44) divizibil cu 71
Deci ambele relatii sunt adevarate.