n^2+ 4 = x (1) n^2+16 = y (2) Scriem intr-un tabel ultima cifra posibila a numerelor prime(x,y) si pentru fiecare numar prim n^2(pentru cazurile (1) si (2)) Obs!!! u(r^2) ϵ {1,4,5,6,9} u(n^2)pt (2)| u(n^2) pt (1) | u(prime) -------------------------------------- 7/ | 9 | 3 9 | 1 | 5 1 | 3/ | 7 3/ | 5 | 9 6 | 8/ | 2 Obs!!! Langa numerele care nu fac parte din u(r^2) am notat un "/"
I u(n^2) = 9; n^2> 9 u(n^2+16) = 5 } <--nu e prim n^2+16 > 5 } II n^2 = 9 n^2+16 = 25 <-- nu e prim III u(n^2) = 1;n^2 > 1 u(n^2+4) = 5 } <-- nu e prim n^2 + 4 > 5 } IV n^2 = 1 <=> n = 1 <-- 1 nu e prim V u(n^2) = 6;n^2> 36; n^2 < 36 u(n^2+4) = 0 <-- nu e prim VI n^2 = 36 n^2 + 4 = 40 <-- nu e prim VII u(n^2) = 5; n^2 > 25; n^2 < 25 u(n^2+16) = 5 } <-- nu e prim n^2 + 16 > 5 } VIII n^2 = 25 ==> n = 5 n^2 + 4 = 29 } <-- e prim n^2 +16 = 41 } <-- e prim
Deci, singurul numar n care indeplineste cele 2 cerinte este n = 5
Indicatie:
RăspundețiȘtergerePentru o rezolvare eleganta, considerati urmatoarele trei cazuri:
I. n=5k
II. n=5k(+sau-)1
III. n=5k(+sau-)2
Ultima cifra a lui n^2 poate fi:
RăspundețiȘtergere1/ 1, in care caz n^2+4 se termina in 5 si poate fi nr prim numai daca n=1, care nu convine;
2/ 4, in care caz n este par si, cum 2 nu este o solutie, nu convine;
3/ 5, in care caz n este multiplu impar de 5 si, ca sa fie si prim, trebuie sa fie chiar 5, care convine;
4/ 6, in care caz n este par si iar nu avem solutii;
5/ 9, in care caz n^2+16 se termina in 5 si, fiind mai mare decat 5, nu poate fi prim.
Deci singura solutie este n=5.
-daca n=5k(+sau-)1 atunci n^2+4 este multiplu de 5
RăspundețiȘtergere-daca n=5k(+sau-)2 atunci n^2+16 este multiplu de 5
-singurul multiplu de 5 numar prim este 5
n^2+ 4 = x (1)
RăspundețiȘtergeren^2+16 = y (2)
Scriem intr-un tabel ultima cifra posibila a numerelor prime(x,y) si pentru fiecare numar prim n^2(pentru cazurile (1) si (2))
Obs!!! u(r^2) ϵ {1,4,5,6,9}
u(n^2)pt (2)| u(n^2) pt (1) | u(prime)
--------------------------------------
7/ | 9 | 3
9 | 1 | 5
1 | 3/ | 7
3/ | 5 | 9
6 | 8/ | 2
Obs!!! Langa numerele care nu fac parte din u(r^2) am notat un "/"
I u(n^2) = 9; n^2> 9
u(n^2+16) = 5 } <--nu e prim
n^2+16 > 5 }
II n^2 = 9
n^2+16 = 25 <-- nu e prim
III u(n^2) = 1;n^2 > 1
u(n^2+4) = 5 } <-- nu e prim
n^2 + 4 > 5 }
IV n^2 = 1 <=> n = 1 <-- 1 nu e prim
V u(n^2) = 6;n^2> 36; n^2 < 36
u(n^2+4) = 0 <-- nu e prim
VI n^2 = 36
n^2 + 4 = 40 <-- nu e prim
VII u(n^2) = 5; n^2 > 25; n^2 < 25
u(n^2+16) = 5 } <-- nu e prim
n^2 + 16 > 5 }
VIII n^2 = 25 ==> n = 5
n^2 + 4 = 29 } <-- e prim
n^2 +16 = 41 } <-- e prim
Deci, singurul numar n care indeplineste cele 2 cerinte este n = 5