Fie t un numar natural care poate fi scris ca produc de doua numere consecutive: x*(x+1)=t x^2+x-t=0 Ecuatia de gradul 2 in x are solutii numere naturale daca si numai daca 4t+1 (descriminantul) este patrat perfect. Pt t=25n-14 4t+1=100n-55=5*(20*n-11) care nu poate fi patrat perfect oricare ar fi n. Deci 25n-14 nu poate fi produs de numere consecutive
Da, rationamentul este corect. Problema poate fi totusi rezolvata si de catre elevii de clasa a V-a sau a VI-a, care nu cunosc inca formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al II-lea. Asteptam si alte rezolvari.
fie x natural a.i x(x+1)=25n-14=t t trebuie sa fie par, pt ca ori x ori x+1 sunt pare, iar produsul unui numar par cu un nr impar este un nr par. 25n trebuie sa fie par, deoarece scadeerea dintre un nr impar si un nr par este un nr impar.Deci n trebuie sa fie par-> ultima cifra a lui t este 6( 25* un nr par are ultima cifra 0 iar ...0-14 are ultima cifra 6) cum 6 are divizorii 1 2 3 6 , produsil nu poate fi decat 6*1, caz in care nu s-ar mai respecta consecutivitatea, sau 2*3 , singurul caz posibil. Daca n e de forma n= 2* un nr impar atunci penultima cifra a lui t este 3 (pt ca penultima cifra a lui n este 5) Fie x de forma x=...a2-> x+1=...a3 x(x+1) va fi de forma ...(5a)6 care ar trebui sa fie egal cu ...36. Egalitatea nu se verifica pt a nr natural. Daca n=4*nr impar-> penultima cifra a lui t este 8. Similar, ajungem la egalitatea a=8/5, dar pt ca a e natural, nu avem solutie. Rezulta ca nu avem un n care sa satisfaca relatia.
Interesant. 99% dintre afirmatii sunt corecte, dar nu a fost prezentata justificarea lor completa. Este corecta afirmatia ca e necesar ca n sa fie par. Atunci cele doua cazuri care trebuie considerate in continuare sunt n=4k+2 si n=4k, k natural. Sigur ca n=4k+2 este acelasi lucru cu "n=2*un nr impar", primul caz tratat mai sus, dar n=4k e mai mult "decat n=4*nr impar". Daca ne restrangem la "n=4*nr impar", ar mai trebui sa consideram separat al treilea caz, "n=4*nr par", pentru ca rezolvarea sa fie completa. Oricum, e interesanta abordarea, dar ar fi interesant sa vedem si justificarile afirmatiilor facute.(mai ales cele referitoare la penultima cifra.)
Indicatie: Fie k si k+1 numerele naturale consecutive cautate. Considerati cazurile k=5p, k=5p+1, etc., cu p numar natural.
RăspundețiȘtergereFie t un numar natural care poate fi scris ca produc de doua numere consecutive:
RăspundețiȘtergerex*(x+1)=t
x^2+x-t=0
Ecuatia de gradul 2 in x are solutii numere naturale daca si numai daca 4t+1 (descriminantul) este patrat perfect.
Pt t=25n-14 4t+1=100n-55=5*(20*n-11) care nu poate fi patrat perfect oricare ar fi n.
Deci 25n-14 nu poate fi produs de numere consecutive
Da, rationamentul este corect. Problema poate fi totusi rezolvata si de catre elevii de clasa a V-a sau a VI-a, care nu cunosc inca formula de rezolvare a ecuatiei de gradul al II-lea.
RăspundețiȘtergereAsteptam si alte rezolvari.
fie x natural a.i
RăspundețiȘtergerex(x+1)=25n-14=t
t trebuie sa fie par, pt ca ori x ori x+1 sunt pare, iar produsul unui numar par cu un nr impar este un nr par.
25n trebuie sa fie par, deoarece scadeerea dintre un nr impar si un nr par este un nr impar.Deci n trebuie sa fie par-> ultima cifra a lui t este 6( 25* un nr par are ultima cifra 0 iar ...0-14 are ultima cifra 6)
cum 6 are divizorii 1 2 3 6 , produsil nu poate fi decat 6*1, caz in care nu s-ar mai respecta consecutivitatea, sau 2*3 , singurul caz posibil.
Daca n e de forma n= 2* un nr impar atunci penultima cifra a lui t este 3 (pt ca penultima cifra a lui n este 5)
Fie x de forma x=...a2-> x+1=...a3
x(x+1) va fi de forma ...(5a)6 care ar trebui sa fie egal cu ...36. Egalitatea nu se verifica pt a nr natural.
Daca n=4*nr impar-> penultima cifra a lui t este 8. Similar, ajungem la egalitatea a=8/5, dar pt ca a e natural, nu avem solutie.
Rezulta ca nu avem un n care sa satisfaca relatia.
Interesant. 99% dintre afirmatii sunt corecte, dar nu a fost prezentata justificarea lor completa.
RăspundețiȘtergereEste corecta afirmatia ca e necesar ca n sa fie par. Atunci cele doua cazuri care trebuie considerate in continuare sunt n=4k+2 si n=4k, k natural. Sigur ca n=4k+2 este acelasi lucru cu "n=2*un nr impar", primul caz tratat mai sus, dar n=4k e mai mult "decat n=4*nr impar". Daca ne restrangem la "n=4*nr impar", ar mai trebui sa consideram separat al treilea caz, "n=4*nr par", pentru ca rezolvarea sa fie completa.
Oricum, e interesanta abordarea, dar ar fi interesant sa vedem si justificarile afirmatiilor facute.(mai ales cele referitoare la penultima cifra.)
Mi, Daca ultima cifra e 6, asta nu inseamna ca nu pote fi de forma 7x8. Nu poti sa iei numai "divizorii lui 6"
RăspundețiȘtergere