Care este cel mai mic număr natural n, cu proprietatea că oricum am alege n numere naturale divizibile cu 4, există printre ele două a căror diferenţă se divide cu 100?
pentru ca un numar sa fie divizibil cu 4 trebuie ca ultimele lui 2 cifre sa fie divizibile cu 4. prin urmare numerele divizibile cu 4 pot fi scrise in forma:
n căutat nu este 25. Putem arăta că există 25 de numere divizibile cu 4 şi având proprietatea că, oricum am alege două dintre ele, diferenţa acestora nu se divide cu 100.
De la 00 pana la 96 sunt 25 de numere divizibile cu 4. Rezulta ca oricare multime de 26 numere va contine in cel mai rau caz, 25 de numere divizibile cu 4 care apartin grupului 0,4,8...96 si inca unul, al 26-lea va fi asemanator cu unul din grupul mentionat. n cautat este 26.
Într-adevăr, se poate arăta că restul împărţirii unui multiplu de 4 la 100 poate fi 0,4,8,...,sau 96, deci sunt posibile 25 de resturi diferite. Dacă notăm cu A_r mulţimea numerelor naturale care împărţite la 100 dau restul r, atunci, pe de o parte, putem alege 25 de multipli de 4 care împărţiţi la 100 să dea resturi diferite, iar pe de altă parte oricum am alege 26 de multipli de 4, vor exista printre aceştia doi care dau acelaşi rest la împărţrea cu 100. Am aplicat aşa numitul principiu al cutiei, sau al lui Dirichlet, unde "cutiile" sunt mulţimile A_0, A_4,..., A_96. Pentru n=25 proprietatea din enunţ este falsă, iar n=26 este cel mai mic număr natural pentru care proprietatea este adevărată.
pentru ca un numar sa fie divizibil cu 4 trebuie ca ultimele lui 2 cifre sa fie divizibile cu 4. prin urmare numerele divizibile cu 4 pot fi scrise in forma:
RăspundețiȘtergere100 x A + 4 x B in care 4 x B < 100
B maxim este 24, deci n cautat este 25.
n căutat nu este 25.
RăspundețiȘtergerePutem arăta că există 25 de numere divizibile cu 4 şi având proprietatea că, oricum am alege două dintre ele, diferenţa acestora nu se divide cu 100.
De la 00 pana la 96 sunt 25 de numere divizibile cu 4. Rezulta ca oricare multime de 26 numere va contine in cel mai rau caz, 25 de numere divizibile cu 4 care apartin grupului 0,4,8...96 si inca unul, al 26-lea va fi asemanator cu unul din grupul mentionat. n cautat este 26.
RăspundețiȘtergereÎntr-adevăr, se poate arăta că restul împărţirii unui multiplu de 4 la 100 poate fi 0,4,8,...,sau 96, deci sunt posibile 25 de resturi diferite.
RăspundețiȘtergereDacă notăm cu A_r mulţimea numerelor naturale care împărţite la 100 dau restul r, atunci, pe de o parte, putem alege 25 de multipli de 4 care împărţiţi la 100 să dea resturi diferite, iar pe de altă parte oricum am alege 26 de multipli de 4, vor exista printre aceştia doi care dau acelaşi rest la împărţrea cu 100. Am aplicat aşa numitul principiu al cutiei, sau al lui Dirichlet, unde "cutiile" sunt mulţimile A_0, A_4,..., A_96.
Pentru n=25 proprietatea din enunţ este falsă, iar n=26 este cel mai mic număr natural pentru care proprietatea este adevărată.