miercuri, 30 septembrie 2009

Toamnă

Într-un vas sunt de 5 ori mai multe nuci decât mere. Dacă se mai adaugă în vas 2 mere şi se scot 14 nuci, în vas rămân de 3 ori mai multe nuci decât mere. Câte mere şi câte nuci erau la început în vas?

Numere consecutive

Să se afle patru numere naturale consecutive ştiind că produsul lor este 1680.

vineri, 25 septembrie 2009

Din nou numărare

De câte ori folosim cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de la 1 la 1000? Dar cifra 0?

miercuri, 16 septembrie 2009

111...111

Arătaţi că există un multiplu al numărului 2009 a cărui scriere în baza 10 conţine doar cifra 1.

luni, 14 septembrie 2009

100

Folosind toate cifrele din mulţimea {0,1,2...,9}, absolut toate, şi pe fiecare dintre ele doar o singură dată, împreună cu o parte dintre operaţiile cunoscute :
- adunarea (+)
- scăderea (-)
- înmulţirea (*)
- împărţirea (/)
- ridicarea la putere (^) (De exemplu, folosim 3^2 pentru "3 la puterea a doua".)
- juxtapunerea - aranjarea una lângă alta (De exemplu, numărul 10 se obţine prin juxtapunerea cifrelor 1 şi 0.)
- virgula zecimală (,) (sau punctul zecimal (.))
- asocierea cu paranteze (Aveţi grijă la ordinea efectuării operaţiilor!)
- factorialul (!) (Exemplu: 3! = 1 * 2 * 3, dar am folosit doar cifra 3),
alcătuiţi o expresie aritmetică al cărei rezultat să fie 100.
Exemplu: 43 + 57 + (1 + 2 + 6 + 8 + 9) * 0 = 100
NOTA: Lăsaţi-vă imaginaţia să zburde! Construiţi şi exemple mai complicate decât:
13 +58 +29 + (4+6+7) * 0 =100 sau
13+58+29 + 4*6*7* 0 = 100.

miercuri, 9 septembrie 2009

Numărare

Câte numere naturale de 4 cifre, cu toate cifrele pare şi distincte, există?

Numere prime

Determinaţi numerele naturale n prime pentru care numerele n2+4 şi n2+16 sunt simultan numere prime.

marți, 8 septembrie 2009

Vârsta lui Ciprian

Am mai primit o problemă de la Ciprian pentru voi:
"Dacă adaug de 5 ori vârsta mea de peste 5 ani la de 6 ori vârsta mea peste 6 ani îmi dă de 12 ori vârsta mea actuală. Care va fi vârsta mea peste 4 ani?"
Aţi aflat ce vârstă are Ciprian?

Mulţimi



Sau altfel spus: determinaţi mulţimile X şi Y ştiind că singurele lor elemente comune sunt 1,2 şi 3, singurul element care se găseşte în X şi nu se găseşte în Y este 5 şi că mulţimea Y este inclusă în mulţimea {1,2,3,4,5,6}.

luni, 7 septembrie 2009

Cubul

Un cub de lemn cu latura de 5 cm se vopseşte cu vopsea neagră. După uscare se taie în cuburi cu latura de 1 cm.
Câte cuburi mici vor avea 1, 2 sau 3 feţe vopsite?
Câte cuburi mici vor avea toate feţele nevopsite?

Turneul

La un turneu de şah fiecare participant a jucat cu fiecare dintre ceilalţi participanţi exact o partidă. Câţi participanţi au fost la turneu, dacă în total s-au jucat 91 de partide?

duminică, 6 septembrie 2009

Monede

La un muzeu se găsesc 80 de monede, aparent identice. Una dintre ele însă, fiind falsă, este puţin mai uşoară. Avem la dispoziţie o balanţă cu braţe egale, fără greutăţi. Este posibil să determinăm care este moneda falsă prin doar patru cântăriri?

vineri, 4 septembrie 2009

Cercul

Numerele naturale de la 1 la 1000 sunt scrise unul după altul pe un cerc. Se taie numerele din 15 în 15, începând cu primul (adică numerele 1,16, 31, etc.); la o nouă parcurgere a cercului sunt luate în considerare şi numerele tăiate înainte. Se continuă operaţia pînă se constată că toate numerele care ar urma să fie tăiate au fost întâlnite şi tăiate mai înainte. Câte numere rămân netăiate?

Numere prime

Să se arata că dacă n este un numă natural mai mare sau egal cu 4, atunci nu există n numere impare consecutive care să fie toate numere prime.

joi, 3 septembrie 2009

Podul


Un nou prieten al nostru, Ciprian, mi-a trimis următoarea problemă şi un desen foarte frumos pentru ea:
"Avem cinci persoane care trebuie să treacă un pod:
-un copil, care trece podul în 1 minut;
-un tânăr, care trece podul în 3 minute;
-un adult, care trece podul în 6 minute;
-o doamnă, care trece podul în 8 minute;
-un bătrân, care trece podul în 12 minute.
Podul nu este foarte rezistent, astfel că maximum două persoane pot trece podul deodată.
Afară este întuneric, astfel că persoanele vor folosi un felinar la trecerea podului. Tineţi cont că după o trecere felinarul trebuie să şi revină, deci cineva trebuie să îl aducă înapoi.
Felinarul are petrol pentru a funcţiona maximum 30 de minute.

Tinând cont de cele enumerate mai sus şi de faptul că, dacă două persoane trec podul durata de trecere va fi cea mai mare dintre cele două durate de trecere (adica se va trece podul cu viteza celui mai încet dintre cei doi, deci va dura mai mult), spuneţi cum trebuie să se grupeze cei 5 astfel încât să ajungă toţi pe partea cealaltă a podului, fară ca petrolul din felinar să se termine şi să rămână pe întuneric."



Ce părere aveţi, e posibil?

miercuri, 2 septembrie 2009

Cel mai mic


Care este cel mai mic număr natural n, cu proprietatea că oricum am alege n numere naturale divizibile cu 4, există printre ele două a căror diferenţă se divide cu 100?

Joc


Doi jucători aleg consecutiv câte un număr din mulţimea {1,2,3,...,15,16} după următoarele reguli:
a) fiecare element poate fi ales cel mult o dată;
b) după fiecare alegere suma tuturor numerelor alese trebuie să fie pătrat perfect (deci şi primul număr).
(De exemplu dacă primul jucăr alege mai întâi 4, atunci al doilea jucător poate alege numai 5 sau 12, etc.)
Cel care nu poate alege un număr conform acestor reguli pierde jocul.
Demonstraţi că primul jucător poate câştiga, indiferent ce strategie ar adopta cel de-al doilea jucător.

21 martie 2014 - Experimentul Eratostene

21 martie 2014 - Experimentul Eratostene