- 2009=41*7*7 - 41*271=11111 -> orice numar a carui sciere este o secventa de 1 cu numar de elemente divizibil cu 5 e multiplu de 41 - 15873*7=111111 -> orice numar a carui sciere este o secventa de 1 cu numar de elemente divizibil cu 6 e multiplu 7. - deci orice numar a carui sciere este o secventa de 1 cu numar de elemente divizibil cu 30 e multiplu de 7 si de 41. - pentru a demonstra existenta unui numar ca cel din enunt nu mai ramane de demonstrat decat ca exista un numar de tipul 10^0+10^30+10^60+10^90... care e multiplu de 7 (^=ridicare la putere) - pentru aceasta tinem cont de faptul ca restul impartirii lui 10^6k la 7 este 1 oricare ar fi k intreg (se poate lesne demonstra prin inductie matematica) - deci restul impartirii lui 10^0+10^30+10^60+10^90+10^120+10^150+10^180 la 7 este 0. Am gasit prin urmare un numar de tipul celui cautat mai sus. -Concluzie: exista numere ca cele cautate in enunt, cel mai mic dintre acestea fiind 111...111 repetat de 210 ori
Foarte frumoasa solutia, se pot invata foarte multe din aceasta rezolvare. La pasul 2 si 3 (identificarea celor mai mici numere care inmultite cu 41, respectiv cu 7 dau un numar scris doar cu cifra 1), s-a folosit probabil Excel sau ceva asemanator, altfel ar fi dificila identificarea. Partea frumoasa este ca s-a obtinut chiar mai mult decat s-a cerut in problema, adica nu doar s-a demonstrat existenta unui astfel de numar, ci s-a si determinat un astfel de numar: 111....111, cu 120 de cifre de 1. Dovedirea faptului ca acesta este cel mai mic numar cu proprietatea data ar mai presupune cateva investigatii, dar se poate arata ca si aceasta afirmatie este corecta. Felicitari pentru rezolvare!
Observatie: in loc de 2009 se poate considera in problema orice numar prim cu 10. Cum rezolvati aceasta problema daca inlocuim numarul 2009 cu un numar prim, suficient de mare, incat mijloacele IT sa nu ne mai poata ajuta? Nu uitati ca nu se cere determinarea multiplului respectiv, ci doar a existentei acestuia. Avem de rezolvat deci urmatoarea generalizare a problemei: "Daca n este un numar natural prim cu 10, demonstrati ca exista un multiplu al acestuia, a carui scriere in baza 10 sa contina doar cifra 1."
Pentru problema generala: - fie p numarul prim cu 10 (2009 in cazul particular de mai sus) - notam cu n(k) numarul a carui scriere este secventa 1.....1 repetata de k ori, cu r(k) restul impartiri lui n(k) la p. - consideram acum sirul r(1)....r(p+1). Evident oricare element din acest sir este mai mic sau decat p. - avem p+1 numere >=0 si <=p deci cel putin doua dintre ele sunt egale. - fie i si j (consider i>j fara a pierde din generalitate) aceste doua numere. - r(i)=r(j) deci n(i)-n(j) e multiplu de p. n(i)-n(j)=n(i-j)*10^j , si fiind p prim cu 10 rezulta ca n(i-j) e multiplu de p adica ceea ce se dorea a fi demonstrat
Foarte frumos si corect! Inca o observatie in legatura cu identificarea celor mai mici numere care inmultite cu 41, respectiv cu 7 dau un numar scris doar cu cifra 1, numere folosite in prima rezolvare, cazul particular p=2009. Aceste numere pot fi determinate usor, fara suportul calculatorului, determinand perioada numerelor 1/7 si 1/41 si folosind transformarea fractiilor zecimale periodice in fractii ordinare. O simplificare cu 9 si folosirea definitiei fractiilor echivalente ne duc la descoperirea rapida a celor doua numere de la pasul 2 si 3. Inca o data felicitari pentru rezolvarea problemei, atat in cazul general, cat si in cazul particular.
- 2009=41*7*7
RăspundețiȘtergere- 41*271=11111 -> orice numar a carui sciere este o secventa de 1 cu numar de elemente divizibil cu 5 e multiplu de 41
- 15873*7=111111 -> orice numar a carui sciere este o secventa de 1 cu numar de elemente divizibil cu 6 e multiplu 7.
- deci orice numar a carui sciere este o secventa de 1 cu numar de elemente divizibil cu 30 e multiplu de 7 si de 41.
- pentru a demonstra existenta unui numar ca cel din enunt nu mai ramane de demonstrat decat ca exista un numar de tipul 10^0+10^30+10^60+10^90... care e multiplu de 7 (^=ridicare la putere)
- pentru aceasta tinem cont de faptul ca restul impartirii lui 10^6k la 7 este 1 oricare ar fi k intreg (se poate lesne demonstra prin inductie matematica)
- deci restul impartirii lui 10^0+10^30+10^60+10^90+10^120+10^150+10^180 la 7 este 0. Am gasit prin urmare un numar de tipul celui cautat mai sus.
-Concluzie: exista numere ca cele cautate in enunt, cel mai mic dintre acestea fiind 111...111 repetat de 210 ori
Foarte frumoasa solutia, se pot invata foarte multe din aceasta rezolvare.
RăspundețiȘtergereLa pasul 2 si 3 (identificarea celor mai mici numere care inmultite cu 41, respectiv cu 7 dau un numar scris doar cu cifra 1), s-a folosit probabil Excel sau ceva asemanator, altfel ar fi dificila identificarea.
Partea frumoasa este ca s-a obtinut chiar mai mult decat s-a cerut in problema, adica nu doar s-a demonstrat existenta unui astfel de numar, ci s-a si determinat un astfel de numar: 111....111, cu 120 de cifre de 1.
Dovedirea faptului ca acesta este cel mai mic numar cu proprietatea data ar mai presupune cateva investigatii, dar se poate arata ca si aceasta afirmatie este corecta.
Felicitari pentru rezolvare!
Observatie: in loc de 2009 se poate considera in problema orice numar prim cu 10. Cum rezolvati aceasta problema daca inlocuim numarul 2009 cu un numar prim, suficient de mare, incat mijloacele IT sa nu ne mai poata ajuta? Nu uitati ca nu se cere determinarea multiplului respectiv, ci doar a existentei acestuia.
RăspundețiȘtergereAvem de rezolvat deci urmatoarea generalizare a problemei:
"Daca n este un numar natural prim cu 10, demonstrati ca exista un multiplu al acestuia, a carui scriere in baza 10 sa contina doar cifra 1."
Pentru problema generala:
RăspundețiȘtergere- fie p numarul prim cu 10 (2009 in cazul particular de mai sus)
- notam cu n(k) numarul a carui scriere este secventa 1.....1 repetata de k ori, cu r(k) restul impartiri lui n(k) la p.
- consideram acum sirul r(1)....r(p+1). Evident oricare element din acest sir este mai mic sau decat p.
- avem p+1 numere >=0 si <=p deci cel putin doua dintre ele sunt egale.
- fie i si j (consider i>j fara a pierde din generalitate) aceste doua numere.
- r(i)=r(j) deci n(i)-n(j) e multiplu de p. n(i)-n(j)=n(i-j)*10^j , si fiind p prim cu 10 rezulta ca n(i-j)
e multiplu de p adica ceea ce se dorea a fi demonstrat
Foarte frumos si corect!
RăspundețiȘtergereInca o observatie in legatura cu identificarea celor mai mici numere care inmultite cu 41, respectiv cu 7 dau un numar scris doar cu cifra 1, numere folosite in prima rezolvare, cazul particular p=2009.
Aceste numere pot fi determinate usor, fara suportul calculatorului, determinand perioada numerelor 1/7 si 1/41 si folosind transformarea fractiilor zecimale periodice in fractii ordinare. O simplificare cu 9 si folosirea definitiei fractiilor echivalente ne duc la descoperirea rapida a celor doua numere de la pasul 2 si 3.
Inca o data felicitari pentru rezolvarea problemei, atat in cazul general, cat si in cazul particular.